基于变压器的匹配网络（TMN）的一种设计方法-Yaohaolin

本篇内容是文献[1]的笔记，主要记录了文献[1]中提出并分析的变压器阻抗匹配网络（TMN）的模型和匹配分析。
文献[1]中的方程的解，给出了在给定源和负载条件下TMN的所有的可能的参数值，便于RF PA设计时的参数比较和选择。

1 具有TMN的毫米波功放的设计难疑

1.1 驱动级功率效益

当PA中存在多级级联时，PA的功率附加效率（PAE）和1dB输出压缩点（OP1dB）都会受到一定的影响。对于存在两个级联的PA（一个驱动级一个输出级），理想情况下二者的表达式如下所示：

PAE_{PA}=PAE_{2}[1-\frac{PAE_{2}-PAE_{1}}{PAE_{2}+PAE_{1}\frac{G_{P1}}{G_{P1}-1}(G_{P2}-1)}]\tag{1}

\frac{1}{OP_{1dB,PA}}=\frac{1}{OP_{1dB,1}G_{P2}}+\frac{1}{OP_{1dB,2}}\tag{2}

从(1)可见，当PA中有级联时，每级的PAE之间的大小关系对总的PAE有显著的影响。
从(2)可见，如果想要设计一个总体上具有较高1dB静态压缩点的PA，两级级联的PA应该满足OP_{1dB,1}G_{P2}\gg OP_{1dB,2}，亦即大多数的增益压缩应体现在输出级。
（然而，如果驱动级的增益压缩过小，由式(1)可知，当第二级输出级的增益较低时，整体的PAE会小于第二级的PAE）
由于负载牵引效应，晶体管需要在输出对负载阻抗进行优化，来实现大的输出功率和高输出效率。

负载牵引效应指的是在阻抗匹配的过程中，测量射频器件的性能参数并观察分析其随阻抗匹配变化的技术。

级内阻抗匹配网络负载阻抗的优化与输出阻抗匹配网络负载阻抗的优化同样重要！

挑战：MOS管栅电容的高容值使得级内阻抗匹配网络的品质因数Q远大于输出阻抗匹配网络的Q，这使得很难设计大带宽下级间匹配网络。

1.2 功率性能的失配和退化

通过负载牵引仿真可知，具有相同失配的阻抗可能对应不同的功率性能退化。优化负载阻抗的失配与功率性能衰退之间的关系不依赖于晶体管尺寸，当失配增加时功率性能快速衰退。

1.3 TMN设计的挑战

用于级间匹配和输出匹配的TMN的设计应满足在全带宽内拥有小失配，这一设计的难点主要来源于TMN设计方法的多样性。

2 TMN综合方法

本节的TMN综合方法基于根据TMN模型提出的匹配方程和匹配机制分析。

2.1 TMN建模

TMN建模如下图图1所示。

图1 (a)利用TMN的PA的原理图 (b)TMN的简单等效模型 )
图1(a)中展示了使用TMN作为输入输出和级间匹配的功放示意图，其中灰色的电容和电阻代表阻抗匹配网络的源/负载（初级/次级）阻抗，其可以由晶体管的等效输入或输出阻抗、功放的50Ω源/负载阻抗和附加电容组成。

从图1(a)中可以看出，对于不同级，TMN有不同的连接方式：
（1）对于级间匹配网络，初级和次级线圈均采用差分连接，中间抽头交流接地；
（2）对于输入输出匹配网络，变压器用作巴伦电路，一个线圈差分连接且中间抽头交流接地，另一线圈连接50Ω阻抗且中间抽头浮空。

图1(b)则是用于分析匹配的TMN模型。在该模型中，L_{TP}是初级线圈的电感，L_{TS}是次级线圈的电感，R_{TP}是初级线圈的电阻，R_{TS}是次级线圈的电阻，C_{TP}是初级线圈的寄生电容，C_{TS}是次级线圈的寄生电容；k是耦合系数，n则由次级电感与初级电感比值的开方\sqrt{\frac{L_{TS}}{L_{TP}}}定义；蓝色虚线内是理想变压器，匝数比如图示。该模型考虑了密勒效应。

2.2 TMN的匹配机理与方程

下图图2是用于匹配分析基于图1(b)重绘的TMN模型。
图2 重绘的TMN模型
如前文所述，TMN的设计目标是为它们连接的晶体管提供优化负载阻抗（Z_{opt}）。
根据负载牵引技术将Rs和Cs纳入等效模型后，阻抗匹配网络提供优化负载阻抗的目标等同于该二端口网络反射系数Γs = 0。（除输入匹配网络）

反射系数Γs的定义是反射波振幅与入射波振幅的复数比，计算公式为\Gamma_S = \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}，当阻抗相匹配（Z_L=Z_0）时\Gamma_S = 0。
Z_L为负载阻抗，Z_0为将二端口网络的传输阻抗

由于匹配网络的源端要么是晶体管输出要么是50Ω电阻，在实际设计中，源端的品质因数Qs要比变压器的品质因数Q低很多。因此变压器的初级电感寄生电阻对源端的影响可忽略不计，表现为如图2所示|\Gamma_S|\approx |\Gamma_S^{'}|。
通过如图2所示，利用\Gamma_S^{'}将电路切割为左右两部分，电路左侧只包含变压器的参数L_{TP}和k，而n只在电路右侧出现。由于理想变压器的阻抗只改变其幅值，而其虚部与实部之比保持恒定，当图2所示的TMN共轭匹配时，有

Z_{left}=Z_{right}^{*}\tag{3}

\bar{Q}_{left}=-\bar{Q}_{right}=-\bar{Q}_{right\_BT}\tag{4}

\bar{Q}由阻抗Z的虚部与实部之间的比值决定。
\bar{Q}与Q的幅值相同，但是后者总是正的，前者可正可负。

图3 TMN的匹配机理
TMN的阻抗匹配机理如上图图3所示，可通过如下两步完成：

（图3红线和绿线）通过电感的L_{TP}k^2和L_{TP}(1-k^2)改变R_S||(C_S+C_{TP})+R_{TP}参与的\bar{Q}。
（图3蓝线）通过理想变压器调整Z_{right}的幅值，使得
Z_{left}=Z_{right}^{*}\tag{3}

第一步需要通过L_{TP}的值来相应地选择k的值，通过解式（4），可得：

k=\sqrt{\frac{(R_L+R_{TS}+Q^2_LR_{TS})(C_S(R_S+R_{TP})^2+Q_S^2(R_{TP}^2C_S-2L_{TP})+\omega_0^2L_{TP}^2C_S(1+Q_S^2))}{L_{TP}(\omega_0Q_LR_LC_S(R_S+R_{TP}+R_{TP}Q^2_S)+(R_L+R_{TS}+Q_L^2R_{TS})(\omega_0^2L_{TP}C_S(1+Q_S^2)-Q_S^2))}}\tag{5}

这里Q_S = \omega_0 R_SC_S,Q_L = \omega_0 R_LC_L

若假设R_{TP}=R_{TS}=0，上式可简化为：

k=\sqrt{\frac{R_S^2-2\omega_0Q_SR_SL_{TP}+\omega_0^2(1+Q_S^2)L_{TP}^2}{\omega_0R_S(Q_L-Q_S)L_{TP}+\omega_0^2(1+Q_S^2)L_{TP}^2}}\tag{6}

第二步中阻抗的变化沿着史密斯圆图上的常数Q曲线。基于理想变压器1：n/k的匝数比，可知：

\frac{Z_{right}}{Z_{right\_BT}}=(\frac{n}{k})^2\tag{7}

这一步需要通过L_{TP}的值来相应地选择n的值，通过解式(3)(7)，可得：

n=\sqrt{\frac{C_LR_L^2(R_S+R_{TP}+Q_S^2R_{TP})+L_{TP}(1+Q_S^2)(R_L+R_{TS}+Q_L^2R_{TS})-C_SR_S^2(R_L+R_{TS}+Q_L^2R_{TS})}{L_{TP}(1+Q_L^2)(R_S+R_{TP}+Q_S^2R_{TP})}}\tag{8}

若假设R_{TP}=R_{TS}=0，上式可简化为:

n=\sqrt{\frac{\frac{R_L}{(1+Q_L^2)}}{\frac{R_S}{(1+Q_S^2)}}+\frac{R_L(Q_L-Q_S)}{\omega_0L_{TP}(1+Q_L^2)}}\tag{9}

由于k不会小于1，L_{TP}的值在不同的条件下需要大于下两个式子（分别是R_{TS}和R_{TP}不为0，R_{TP}=R_{TS}=0）。

L_{TP\_min}=\frac{C_S(R_S^2+2R_SR_{TP}+(1+Q_S^2)R_{TP}^2)(R_L+R_{TS}+Q_L^2R_{TS})}{Q_S^2(R_L+R_{TS}+Q_L^2R_{TS})+\omega_0C_SQ_LR_L(R_S+R_{TP}+Q_S^2R_{TP})}\tag{10}

L_{TP\_min}=\frac{R_S}{\omega_0(Q_S+Q_L)}\tag{11}

通过式(5)(8)，可以直接计算出不同L_{TP}下的k和n参数。

2.3 TMN综合过程

TMN综合过程可表示为如下图图4所示的流程图。
图4 TMN综合过程

参考文献

[1] Ye, W., et al. (2015). "A 65 nm CMOS Power Amplifier With Peak PAE above 18.9% From 57 to 66 GHz Using Synthesized Transformer-Based Matching Network." IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers 62(10): 2533-2543.

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