本文定量计算了如下图所示的CMOS差分对的差模输出电流和电压，假设图中的M1和M2均处于饱和区，并且忽略二者的沟道长度调制、衬底偏置等效应。
这里，我们假设
V_{id}=V_{ip}-V_{in}=(V_{ip}-V_{S})-(V_{in}-V_{S})=V_{GS1}-V_{GS2}\tag{1}
通过上述条件可以得到
I_{d1}+I_{d2}=I_{SS} \tag{2}
由于M1和M2饱和，因此
I_{d1}=\frac{1}{2}k_n\frac{W}{L}(V_{GS1}-V_{th})^2\tag{3.1}
I_{d2}=\frac{1}{2}k_n\frac{W}{L}(V_{GS2}-V_{th})^2\tag{3.2}
将式(3.1)(3.2)带入式(1)可得
\begin{aligned} V_{id} &=\sqrt{\frac{2I_{d1}}{k_n\frac{W}{L}}}-\sqrt{\frac{2I_{d2}}{k_n\frac{W}{L}}}\\ &=\sqrt{\frac{2}{k_n\frac{W}{L}}}(\sqrt{I_{d1}}-\sqrt{I_{d2}}) \end{aligned} \tag{4}
将式(4)两边平方，可得
I_{d1}+I_{d2}-2\sqrt{I_{d1}I_{d2}}=\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2 \tag{5}
将式(2)代入式(5)，有
I_{SS}-2\sqrt{I_{d1}(I_{SS}-I_{d2})}=\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2 \sqrt{I_{d1}(I_{SS}-I_{d2})}=\frac{I_{SS}}{2}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{4}V_{id}^2 \tag{6}
将式(6)平方，得
I_{d1}^2-I_{SS}I_{d1}+(\frac{I_{SS}}{2}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{4}V_{id}^2)^2=0 \tag{7}
至此，我们可以通过式(7)求得Id1的值。同时，根据式(2)和式(5)知，I_{d2}的求解过程和求解方程与I_{d1}一样，因此，通过式(8)我们可以将式(7)变为下式，以同时表示Id1和Id2。
I_{d1,2}^2-I_{SS}I_{d1,2}+(\frac{I_{SS}}{2}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{4}V_{id}^2)^2=0 \tag{8}
根据韦达定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根的差值可表示为 x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}。
因此，我们可以得到如下Id1和Id2的差值表示形式
\begin{aligned}I_{d1}-I_{d2}&=\sqrt{I_{SS}^2-4(\frac{I_{SS}}{2}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{4}V_{id}^2)^2}\\& =\sqrt{I_{SS}^2-(I_{SS}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2)^2}\text{注：完全平方展开} \\&=\sqrt{(I_{SS}-I_{SS}+\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2)(I_{SS}+I_{SS}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2)} \\&=\sqrt{\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2}\sqrt{2I_{SS}-\frac{k_n\frac{W}{L}}{2}V_{id}^2} \text{注：接下来第二个根号里面要往外提一个}\frac{k_n\frac{W}{L}}{2} \\&=\sqrt{(\frac{k_n\frac{W}{L}}{2})^2V_{id}^2}\sqrt{\frac{4I_{SS}}{k_n\frac{W}{L}}-V_{id}^2} \\&=\frac{k_n}{2}\frac{W}{L}V_{id}\sqrt{\frac{4I_{SS}}{k_n\frac{W}{L}}-V_{id}^2}\end{aligned}\tag{9}
因为负载电阻大小为RL,令I_{od}=I_{d1}-I_{d2}，可得
V_{od}=-I_{od}R_{L}=-\frac{k_n}{2}\frac{W}{L}V_{id}R_{L}\sqrt{\frac{4I_{SS}}{k_n\frac{W}{L}}-V_{id}^2}\tag{10}
（注意图中所示电流方向）
式(9)和式(10)即我们要求得的差分对的差模输出电流和电压
\begin{aligned} &I_{od}=\frac{k_n}{2}\frac{W}{L}V_{id}\sqrt{\frac{4I_{SS}}{k_n\frac{W}{L}}-V_{id}^2}\\ &V_{od}=-\frac{k_n}{2}\frac{W}{L}V_{id}R_{L}\sqrt{\frac{4I_{SS}}{k_n\frac{W}{L}}-V_{id}^2} \end{aligned}
（完）
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